1. 题目-学校师生心理健康卫生状况的评价
随着社会的不断进步和发展，心理健康问题越来越受到人们的关注。教师和学生作为社会的重要部分，其心理健康素质是影响社会发展的重要因素，提高教师和学生的心理素质是社会主义建设的重要问题之一。因此，对于教师和学生心理健康状况进行科学的评价与分析，有助于及时发现问题，防患于未然。
在实际中，对于心理健康状况的评价，一般利用“SCL-90测试量表”（见附件1）对被测试者进行测试和分析。主要考察被测试对象在躯体化、强迫症状、人际关系敏感度、抑郁症状、焦虑症状、敌对情绪、恐惧症状、偏执情态、精神病性态和其他等10个方面，以及总体状况是否存在心理卫生方面的问题。
附件 2 给出了对某学校教师和学生的测试样本数据，其中第 1 列为样本编号，2～13 列为被测试者的客观数据，14 列为被测试者的总体自评结果，15～104 列为 SCL-90 量表各项测试指标的评分。
请你们建模研究下列问题：
（1）试建立学生心理健康状况的评价模型，并根据附件 2 中的样本数据找出各类心理不健康者。
（2）分析影响学生心理健康的主要原因，并分析家庭教养方式、环境、学校管理模式、教师的工作态度与学生心理健康的关联程度。
（3）根据你找到的各类存在心理健康问题者的具体情况，提出相应的疏导策略，并对其策略的有效性进行定量预测分析。
附件 1：“SCL－90”心理卫生健康状况测试量表
附件 2：某学校测试样本数据表
2.思路
对样本数据进行分析，评价学校师生心理健康卫生状况，对当前社会发展有重要意义，有助于发现社会问题，更好的建设社会主义。在本文中，主要运用了TOPSIS算法对600组样本进行排序，依据全国大学生抑郁症比例求出各类心理不健康者；然后使用Pearson相关系数模型求出客观条件和各类心理不健康人群之间的相关系数，得出客观条件对心理健康的影响；然后利用主成分分析确定各类心理不健康者的主要因素，对各类心理不健康者提出相应的策略，将策略效果定量分析，对每一心理不健康样本执行策略后，利用TOPSIS算法得到前后的排序下标变化，确定单个样本的效果，对所有样本整体执行策略，确定整体效果。为此，本文主要分为4个部分。
第一部分：建立模型，建立TOPSIS算法、Pearson相关系数模型和主成分分析方法。
第二部分：模型求解，利用模型和算法求解问题。
第三部分：模型分析，进行可行性分析和灵敏度分析。
第四部分：得出结论，对师生心理健康进行评价，提出具有现实意义的对策。
3.问题背景
随着社会的不断进步和发展，心理健康问题越来越受到人们的关注。教师和学生作为社会的重要部分，其心理健康素质是影响社会发展的重要因素，提高教师和学生的心理素质是社会主义建设的重要问题之一。因此，对于教师和学生心理健康状况进行科学的评价与分析，有助于及时发现问题，防患于未然。
4.问题分析
4.1 问题重述
在实际中，对于心理健康状况的评价，一般利用“SCL-90测试量表”（见附件1）对被测试者进行测试和分析。主要考察被测试对象在躯体化、强迫症状、人际关系敏感度、抑郁症状、焦虑症状、敌对情绪、恐惧症状、偏执情态、精神病性态和其他等10个方面，以及总体状况是否存在心理卫生方面的问题。要解决的问题如下：
- 问题1：试建立学生心理健康状况的评价模型，并根据附件 2 中的样本数据找出各类心理不健康者。
- 问题2：分析影响学生心理健康的主要原因，并分析家庭教养方式、环境、学校管理模式、教师的工作态度与学生心理健康的关联程度。
- 问题3：根据你找到的各类存在心理健康问题者的具体情况，提出相应的疏导策略，并对其策略的有效性进行定量预测分析。
4.2 问题分析
- 问题1： 先对数据进行预处理，对问题的分数进行正向化处理，分值越大则越可能心理不健康，为使量纲相同，进行标准化处理。然后建立模型，使用优劣解距离法（topsis），得到每一个人的得分情况，按从高到底排序，则分数越高心理不健康的可能性越大。查阅相关资料，获取心理不健康人群占比，求得在样本数据中心理不健康人数N，则取排名前N的人，即为心理不健康者。
- 问题2： 根据问题1所得结果，求出各类心理不健康人群中家庭教养方式、环境、学校管理模式、教师的工作态度的比例，计算相关系数，相关系数绝对值较大的即为主要因素。做出客观条件和各类心理不健康人群的散点图。对客观条件进行主成分分析，得到心理不健康人群的主要影响因素。
- 问题3：首先使用主成分分析方法得到各类心理不健康者的主要因素，对主要因素提出对应的策略，将策略量化到可以使问题的结果下降1，基于此进行量化预测分析，对单个心理不健康样本执行策略，得到该策略对该样本的效果，对所有心理不健康人群执行策略的效果平均值即为总体效果，求出整体样本执行策略后分数的减小百分比，对量化预测结果进行参照。
4.3 研究过程
5.符号定义
表1-符号定义
| 符号 | 定义 |
|---|---|
| $yinzi(i)$ | 第$i$种因子分 |
| $sorted(i)$ | 样本中第$i$种因子分的排序向量 |
| $index(i)$ | 样本中第$i$种因子分排序向量对应的样本下标 |
| $\alpha$ | 全国心理不健康者占比 |
| $D_i^+$ | 与最大值的距离向量 |
| $D_i^-$ | 与最小值的距离向量 |
| $S_i$ | 第$i$个样本的得分 |
6. 合理假设
(1) 样本数据均为真实情况，不存在虚假填写问题；
(2) 样本为随机选取，总体情况以及各类心理不健康者均符合全国各类心理不健康者比例；
(3) 每种策略均能起作用并保证对应的因子分数值减1；
7. 模型建立
7.1 TOPSIS模型
7.1.1 TOPSIS模型介绍
优劣解距离法（Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution， TOPSIS）是指根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。TOPSIS法是一种逼近于理想解的排序法，该方法要求各效用函数具有单调递增（或递减）性。
7.1.2 数据正向化处理
7.1.3 评价指标值
先对数据进行标准化处理。
7.2 Pearson相关系数
7.2.1 模型介绍
在统计学中，皮尔逊相关系数，是用于度量两个变量X和Y之间的相关（线性相关），其值介于-1与1之间。皮尔逊相关系数有一个重要的数学特性是，因两个变量的位置和尺度的变化并不会引起该系数的改变，即它该变化的不变量(由符号确定)。也就是说，我们如果把$X$移动到$a+bX$和把$Y$移动到$c+dY$，其中$a、b、c、d$是常数，并不会改变两个变量的相关系数（该结论在总体和样本皮尔逊相关系数中都成立)。
7.2.2 相关系数计算
两个变量之间的皮尔逊相关系数定义为两个变量之间的协方差和标准差的商：
估算样本的协方差和标准差，可得到Pearson相关系数：
8.模型求解
8.1 问题1求解
8.1.1 数据预处理
在所有样本中，90个问题均为数值越大心理不健康的概率越大，不需要对数据进行正向化处理。按此模型求出的排序向量，分数越高则心理不健康的概率越大。
将90个问题的结果按照因子分分为10个矩阵，记作yinzi{i}，对每一个因子分进行分析。
如果不同问题的量纲不同，需要进行标准化处理。在90个问题中，均为1到5共5个结果，且意义相同，量纲相同，所以不需要进行标准化处理。
8.1.2 利用TOPSIS算法求解
对每个因子分进行分析，利用TOPSIS算法，先求出$D_i^+$和$D_i^-$，然后求出评价指标值$S_i$，即为每一个样本的得分情况。对所有问题利用TOPSIS算法进行评价可以得到总体的得分情况。总体情况以及各类心理不健康者排序向量以及对应的样本下标见附件sorted.xls和index.xls。部分数据如下：
表2-排序向量
| 总体情况 | 躯体化 | 强迫症状 | 人际关系敏感 | 抑郁 |
|---|---|---|---|---|
| 0.006466 | 0.006909 | 0.006654 | 0.006871 | 0.008038 |
| 0.005932 | 0.006884 | 0.005339 | 0.006847 | 0.007756 |
| 0.005582 | 0.006697 | 0.005339 | 0.006659 | 0.007695 |
| 0.005582 | 0.00655 | 0.005168 | 0.006584 | 0.007212 |
| 0.005556 | 0.006458 | 0.005168 | 0.006516 | 0.007212 |
| 0.005556 | 0.006419 | 0.005139 | 0.006388 | 0.007172 |
| 0.005525 | 0.006419 | 0.005058 | 0.0062 | 0.00653 |
表3-对应样本下标
| 总体情况 | 躯体化 | 强迫症状 | 人际关系敏感 | 抑郁 |
|---|---|---|---|---|
| 35 | 600 | 35 | 186 | 186 |
| 186 | 77 | 443 | 35 | 35 |
| 443 | 599 | 497 | 598 | 170 |
| 497 | 595 | 437 | 599 | 443 |
| 476 | 476 | 491 | 227 | 497 |
| 170 | 35 | 212 | 476 | 227 |
| 598 | 181 | 476 | 170 | 596 |
根据表2和表3可知，35号心理不健康的可能性最高，在各个因子分中均得分较高。
《中国国民心理健康发展报告（2019-2020）》中指出，大学生群体中心理不健康者的比例$\alpha$为18.5%，共600组样本，则取前111组样本，即为心理不健康者。各类心理不健康者见附件unhealthy.xls。
8.2 问题2求解
8.2.1 计算Pearson相关系数
对各类心理不健康者进行分析，分别求出其与12种客观条件的Pearson相关系数，相关系数见附件Pearson.xls文件。部分数据如表4所示。
表4-相关系数
| 总体情况 | 躯体化 | 强迫症状 | 人际关系敏感 | |
|---|---|---|---|---|
| 性别 | 0.05989 | 0.071522 | 0.20006 | 0.092707 |
| 年龄 | 0.12507 | -0.06428 | -0.10948 | 0.01066 |
| 独生子女 | 0.14008 | 0.050429 | 0.089358 | 0.085525 |
| 类别 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 学历层次 | -0.04272 | -0.18428 | -0.11288 | 0.15501 |
| 家庭结构 | -0.03351 | -0.12399 | -0.00318 | -0.07532 |
| 家庭教养方式 | 0.17458 | 0.18314 | 0.0077 | 0.014016 |
相关系数的绝对值越大，则相关性越强，相关系数为正数则呈正相关；相关系数为负数则呈负相关。在问题2中，呈正相关，相关系数越大，则对应的客观条件对心理健康影响越大，即随着客观条件数值的增加，心理不健康的概率也增加；呈负相关，相关系数越小，则对应的客观条件对心理健康影响越大，即随着客观条件数值的减小，心理不健康的概率增加；其中，由于绝大部分样本的类别均为3（学生），所以相关系数为0，表示不相关。
8.2.2 分析主要原因
12种客观条件对各类心理健康影响的散点图如下所示。高清图见附件“散点图.png”。
结合散点图和相关系数分析，在总体情况方面，年龄、独生子女、家庭教养方式和学校管理对心理健康影响较大。影响学生心理健康的主要原因包括年龄、独生子女、家庭教养方式和学校管理。年龄越大，心理越容易出现问题，独生子女更容易出现心理问题，家庭教养方式越严格，学校管理越严格，心理越容易出现问题。
家庭教养方式、环境、学校管理模式、教师的工作态度与学生心理健康的关联程度：
家庭教养方式：根据散点图可知，在“家庭教养方式对心理健康的影响”子图中，红色标记和绿色标记大部分居于1（强制型）和4（民主型），且家庭教养方式对心理健康的影响呈正相关，对总体心理状况影响的相关系数为0.17458，相对较大。
对学校环境适应程度：根据散点图可知，在“对学校环境适应程度对心理健康的影响”子图中，红色标记大部分居于2（有点适应）和3（很不适应），绿色标记大部分居于2（有点适应），且对学校环境适应程度对心理健康的影响呈正相关，对总体心理状况影响的相关系数为0.08155，相对较大。
学校管理模式：根据散点图可知，在“学校管理模式对心理健康的影响”子图中，红色标记和绿色标记大部分居于2（有些民主）和3（强制），且对学校环境适应程度对心理健康的影响呈正相关，对总体心理状况影响的相关系数为0.10922，相对较大。
教师态度：根据散点图可知，在“教师态度对心理健康的影响”子图中，红色标记大部分居于2（关心）和3（比较关心），但绿色标记比较平均，所以影响不大。教师态度对总体心理状况影响的相关系数小于1%，接近于0。
综上所述，家庭教养方式与学生心理健康的关联程度较大，对学校环境适应程度和学校管理模式的关联程度居中，教师态度对学生心理健康的关联程度较小，几乎没有影响。
8.3 问题3求解
8.3.1 确定影响较大的客观情况
对各类心理问题进行分析，取相关系数最大的客观情况作为切入点，如表5所示。
表5-各类心理问题主要因素
| 心理问题 | 主要因素 |
|---|---|
| 躯体化 | 学历层次 |
| 强迫症状 | 健康自评 |
| 人际关系 | 学校管理 |
| 抑郁 | 学历层次 |
| 焦虑 | 人际交往 |
| 敌对 | 人际交往 |
| 恐怖 | 家庭教养方式 |
| 偏执 | 人际交往 |
| 精神病性 | 对学校环境的适应程度 |
| 其他 | 教师态度 |
8.3.2 疏导策略分析
躯体化方面心理不健康者：学历层次对其影响较大，受教育情况不同，心理健康状况也不同。可以提供相应的学业指导和职业指导，帮助其树立正确的职业观。同时要提醒其不正确的行为，用正确的方式合理宣泄情绪。
强迫症状方面心理不健康者：健康自评对其影响较大，自我感觉对其影响较大，需要让其认识到自己的优点，而不是抓着自己的缺点不放。可以通过鼓励帮助其正确认识自己。
人际关系方面心理不健康者：学校管理对其影响较大，学校管理越严格，越容易产生人际关系心理不健康问题。需要加强校风建设，设立校长信箱等充分听取意见。可以举办大型活动，提高“面对面”的机会。
抑郁方面心理不健康者：学历层次对其影响较大，受教育情况不同，心理健康状况也不同。学历层次较低可能会产生对未来的焦虑，可以提供相应的学业指导和职业指导，帮助其树立正确的职业观。同时要多倾听其合理诉求，帮助其早日度过难关。
焦虑方面心理不健康者：人际交往对其影响较大，由于交流不足，容易对别人产生误解。可以举办大型活动，提高“面对面”的机会，让更多的人感到归属感，提高人际交往能力。
敌对方面心理不健康者：人际交往对其影响较大，由于交流不足，容易对别人产生误解，以至于对别人产生敌对情绪。可以举办大型活动，提高“面对面”的机会，让更多的人感到归属感，提高人际交往能力。
恐怖方面心理不健康者：家庭教养方式对其影响较大，家庭管理严格可能导致很多心理问题。可以采用宽松民主的家庭教养方式，更多的考虑其真正诉求，而不是家庭成员的要求。也可以通过增强人际交往缓解。
偏执方面心理不健康者：人际交往对其影响较大，由于交流不足，容易对别人产生误解，再加上个人的心理状况，有偏执倾向。可以提高其人际交往能力，拓宽视野，培养兴趣，陶冶情操。
精神病性方面心理不健康者：对学校环境的适应程度对其影响较大，环境对其影响较大，而且对环境的适应性较慢，容易产生精神问题。可以培养兴趣，陶冶情操，帮助其更快的接受环境变化并认识世界。
其他方面心理不健康者：教师态度对其影响较大，需要加强师资力量培养，不只关注成绩，还要增强对各方面的研究学习。
8.3.3 有效性分析
对单个心理不健康样本执行策略，使对应的因子分减1，然后使用TOPSIS算法计算排序向量，求出该样本的排序向量下标变化大小，所有数据见附件decrease.xls文件。
表6-平均减小排序量
| 总体情况 | 281.9821 | 敌对 | 236.5 |
|---|---|---|---|
| 躯体化 | 239.5804 | 恐怖 | 303.2768 |
| 强迫症状 | 196.6964 | 偏执 | 230.2143 |
| 人际关系敏感 | 211.5089 | 精神病性 | 264.0089 |
| 抑郁 | 192.2589 | 其他 | 281.9911 |
| 焦虑 | 243.6786 |
根据表格中数据可知，在保证策略效果的情况下，执行策略可以有效提升各类心理健康卫生状况，由表6可知，平均减小排序量均超过100，能大幅提升心理健康水平，具有较好的疏导效果。
在总体上看，对样本执行相应策略，可使平均得分降低0.1875，可以有效提高整体心理健康水平。
9. 模型分析与检验
9.1 可行性分析
（1） TOPSIS算法可以较好的计算出排序向量，误差较小，能避免层次分析法中主观因素较大的缺点。使用TOPSIS算法是可行的。
（2） 进行相关性分析时，使用Pearson相关系数模型，能较好的计算出相关性，得到主要因素以及客观条件的影响大小。使用Pearson相关系数是可行的。
（3） 使用主成分分析法求影响最大的客观条件，结合相关系数大小，求出的结果误差较小。使用主成分分析法是可行的。
9.2 灵敏度分析
在对数据进行预处理时，已经进行了正向化处理、标准化处理和归一化处理，所以修改数值大小对结果的影响较小。
9.3 模型精度
由于样本数量较少，范围不够广泛，根据蓝皮书公布的大学生抑郁症群体占比求出的结果会有一定的误差，策略效果量化为数值下降1也会使预测效果精度降低，但TOPSIS算法具有客观性和准确性，主成分分析也能较好的确定重要因素，总体上能够较好的反映出当前师生心理健康卫生状况，具有较高的精度。
9.4 误差分析和模型改进
(1) 样本范围不够广泛，仅有600组数据，不能较好的体现出全部的心理健康水平。
(2) TOPSIS算法没有计入各因子分的权值，有一定的误差，可以考虑使用熵权TOPSIS算法求解，以减小误差。
(3) 将策略的效果均量化为1，具有较大的误差，在条件允许的情况下，可以在执行策略后再进行一次实验，获取每种策略的效果，将实验获得的效果进行量化，以减小误差。
10. 结论
通过一定的策略疏导可以使整体的心理健康状况提高，并且能显著缓解各类心理不健康状况。所以进行心理疏导是有必要的，也是有切实效果的。进一步提高心理服务水平是有效的措施。
参考文献
[1]李国良,庞蓉蓉,王洪富,朱蓉蓉.基于TOPSIS模型的精益评标方法[J].数学理论与应用,2017,37(02):122-128.
[2]刘艺航. 智慧城市建设的市民需求结构研究[D].东南大学,2021.DOI:10.27014/d.cnki.gdnau.2021.001557.
[3] 韦伟,戴文静.基于改进TOPSIS法的健康评价模型研究[J].设备管理与维修,2021(13):17-19.DOI:10.16621/j.cnki.issn1001-0599.2021.07.08.
附录
附录1——使用的工具和软件
MATLAB
附录2——代码
| 附录2.1 |
|---|
| 简介:主函数，对总体状况和因子分进行分析，调用topsis函数求排序向量；对客观条件和各类心理健康状况绘制散点图；求客观条件和各类心理健康状况的相关系数；进行主成分分析求主要因素；对执行策略后的效果进行量化，求执行策略后减小的排序量和平得分平均降低值。 |
| 附录2.2 |
|---|
| 简介: topsis函数，利用topsis算法求排序向量 |
